深度学习教程(6) | 神经网络优化算法(吴恩达·完整版)

  新闻资讯     |      2024-06-10 07:18
本节介绍深度神经网络中的一些优化算法,使用这些技巧和方法来提高神经网络的训练速度和精度:batch、mini-batch、Stochastic gradient descent,指数加权平均和偏移校正,动量梯度下降、RMSprop和Adam算法,学习率衰减法,局部最优的概念及结论。


本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得,对应的课程视频可以在这里查看。


ShowMeAI前一篇文章 深度学习的实用层面 中我们对以下内容进行了介绍:

  • Train / Dev / Test sets的切分和比例选择
  • Bias和Variance的相关知识
  • 防止过拟合的方法:L2正则化和Dropout
  • 规范化输入以加快梯度下降速度和精度
  • 梯度消失和梯度爆炸的原因及处理方法
  • 梯度检查

本篇内容展开介绍深度神经网络中的一些优化算法,通过使用这些技巧和方法来提高神经网络的训练速度和精度。


Batch梯度下降法(批梯度下降法)是最常用的梯度下降形式,它是基于整个训练集的梯度下降算法,在更新参数时使用所有的样本来进行更新。

对整个训练集进行梯度下降法的时候,我们必须处理整个训练数据集,然后才能进行一步梯度下降,即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理,如果训练数据集很大的时候,处理速度就会比较慢。

但是如果每次处理训练数据的一部分,基于这个子集进行梯度下降法,算法迭代速度会更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-Batch,这个算法也就是我们说的Mini-Batch梯度下降法


Mini-Batch梯度下降法(小批量梯度下降法)每次同时处理单个的Mini-Batch,其他与Batch梯度下降法一致。

使用Batch梯度下降法,对整个训练集的一次遍历只能做一个梯度下降;而使用Mini-Batch梯度下降法,对整个训练集的一次遍历(称为一个epoch)能做Mini-Batch个数个梯度下降。之后,可以一直遍历训练集,直到最后收敛到一个合适的精度。

Batch梯度下降法和Mini-Batch梯度下降法代价函数的变化趋势如上图所示:

  • 使用Batch gradient descent,随着迭代次数增加,cost是不断减小的。
  • 使用Mini-batch gradient descent,随着在不同的mini-batch上迭代训练,cost并不是单调下降,而是振荡下降的,最终也能得到较低的cost值。出现细微振荡的原因是不同的mini-batch之间是有差异的。例如可能第一个子集(X^{\\{1\\}},Y^{\\{1\\}})是好的子集,而第二个子集(X^{\\{2\\}},Y^{\\{2\\}})包含了一些噪声noise。出现细微振荡是正常的。


我们在训练神经网络的时候,使用mini-batch gradient descent,经常要指定一个batch批次的样本数量。而不同的batch大小会影响训练的过程,其中有2个特例,mini-batch gradient descent会退化为不同的算法:

  • Mini-Batch的大小为1,即是随机梯度下降法(stochastic gradient descent),每个样本都是独立的Mini-Batch。
  • Mini-Batch的大小为m(数据集大小),即是Batch梯度下降法。

如上图,我们对比一下Batch gradient descentStachastic gradient descent的梯度下降曲线。

  • 图中蓝色的线代表Batch gradient descent。Batch gradient descent会比较平稳地接近全局最小值,但是因为使用了所有m个样本,每次前进的速度有些慢。
  • 图中紫色的线代表Stochastic gradient descent。Stochastic gradient descent每次前进速度很快,但是路线曲折,有较大的振荡,最终会在最小值附近来回波动,难以真正达到最小值处。而且在数值处理上就不能使用向量化的方法来提高运算速度。
  • 对所有 m 个训练样本执行一次梯度下降,每一次迭代时间较长,训练过程慢
  • 相对噪声低一些,幅度也大一些。
  • 成本函数总是向减小的方向下降。
  • 对每一个训练样本执行一次梯度下降,训练速度快,但丢失了向量化带来的计算加速
  • 有很多噪声,减小学习率可以适当。
  • 成本函数总体趋势向全局最小值靠近,但永远不会收敛,而是一直在最小值附近波动。

实际使用中,batch size不能设置得太大(会倾向于Batch gradient descent),也不能设置得太小(倾向于Stochastic gradient descent)。

选择一个 1<size<m 的合适的大小进行Mini-Batch梯度下降,可以实现快速学习,也应用了向量化带来的好处,且成本函数的下降处于前两者之间。

mini-batch gradient descent的梯度下降曲线如图绿色曲线所示,每次前进速度较快,且振荡较小,基本能接近全局最小值


吴恩达老师也给出了一些关于batch大小选择的经验:

  • 训练样本量小(如m \\le  2000),选择Batch梯度下降法。
  • 训练样本量大,选择Mini-Batch梯度下降法。
  • 与计算机的信息存储方式相适应,代码在Batch大小为2的幂次时运行要快一些,典型的大小为2^62^7、…、2^9
  • Batch的大小要匹配CPU/GPU内存。

Batch的大小是重要的超参数,需要根据经验快速尝试,找到能够最有效地减少成本函数的值。


前面提到了batch大小的选择方法,当我们确定batch大小后,在应用mini-batch梯度下降算法时,可以通过以下方式获得1个Batch的数据:

  • 将数据集打乱
  • 按照既定的大小分割数据集

其中打乱数据集的代码:

# 获得样本数量
m = X.shape[1] 
# 对m个样本进行乱序
permutation = list(np.random.permutation(m))
# 取出洗牌之后的样本特征和标签
shuffled_X = X[:, permutation]
shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))

(上述python代码使用到numpy工具库,想了解更多的同学可以查看ShowMeAI图解数据分析 系列中的numpy教程,也可以通过ShowMeAI制作的 numpy速查手册 快速了解其使用方法)


代码解读np.random.permutationnp.random.shuffle 有两处不同:

  • 如果传给permutation
    一个矩阵,它会返回一个洗牌后的矩阵副本;而shuffle
    只是对一个矩阵进行洗牌,没有返回值。
  • 如果传入一个整数,它会返回一个洗牌后的arange。


在进一步讲解优化算法之前,我们来对数学标记做一个统一和说明:

  • 我们使用小括号上标i表示训练集里的值,x^{(i)}是第i个训练样本。
  • 我们使用中括号上标l表示神经网络的层数,z^{[l]}表示神经网络中第l层的z值。
  • 我们使用上标t来代表不同的Batch数据,即X^{t}Y^{t}

下面我们将介绍指数加权平均(Exponentially weighted averages)的概念。

举个例子,记录半年内伦敦市的气温变化,并在二维平面上绘制出来,如下图所示:

看上去,温度数据似乎有noise,而且抖动较大。如果我们希望看到半年内气温的整体变化趋势,可以通过「移动平均」(moving average)的方法来对每天气温进行平滑处理。


例如我们可以设V_0=0,当成第0天的气温值。

第一天的气温与第0天的气温有关:

 V_1=0.9V_0+0.1\	heta_1

第二天的气温与第一天的气温有关:

 \\begin{aligned}V_2 &=0.9V_1+0.1\	heta_2\\\\ &=0.9(0.9V_0+0.1\	heta_1)+0.1\	heta_2\\\\ &=0.9^2V_0+0.9\\cdot0.1\	heta_1+0.1\	heta_2  \\end{aligned}

第三天的气温与第二天的气温有关:

 \\begin{aligned}V_3 &=0.9V_2+0.1\	heta_3\\\\  &=0.9(0.9^2V_0+0.9\\cdot0.1\	heta_1+0.1\	heta_2)+0.1\	heta_3\\\\  &=0.9^3V_0+0.9^2\\cdot 0.1\	heta_1+0.9\\cdot 0.1\	heta_2+0.1\	heta_3  \\end{aligned}

即第t天与第t-1天的气温迭代关系为:


经过「移动平均」(moving average)处理得到的气温如下图红色曲线所示:

这种滑动平均算法称为指数加权平均(exponentially weighted average)。根据前面的例子,我们可以看到它的推导公式一般形式为:V_t=\\beta V_{t-1}+(1-\\beta)\	heta_t

其中指数加权平均的天数由\\beta值决定,近似表示为\\frac{1}{1-\\beta}。上面的例子中:

  • \\beta=0.9,则\\frac{1}{1-\\beta}=10,表示将前10天进行指数加权平均。
  • \\beta=0.98,则\\frac{1}{1-\\beta}=50,表示将前50天进行指数加权平均。

\\beta值越大,则指数加权平均的天数越多,平均后的趋势线就越平缓,但是同时也会向右平移。上图中绿色曲线和橙色曲线分别表示了\\beta=0.98\\beta=0.5时,指数加权平均的结果。


公式解释
这里的\\frac{1}{1-\\beta}是怎么来的呢?就标准数学公式来说,指数加权平均算法跟之前所有天的数值都有关系。
但是指数是衰减的,一般认为衰减到\\frac1e就可以忽略不计了。因此,根据之前的推导公式,我们只要证明\\beta^{\\frac{1}{1-\\beta}}=\\frac1e就好了。
\\frac{1}{1-\\beta}=NN>0,则\\beta=1-\\frac{1}{N}\\frac1N。即证明转化为
显然,当N>>0时,上述等式是近似成立的。这就简单解释了为什么指数加权平均的天数的计算公式为\\frac{1}{1-\\beta}

综上,指数加权平均(Exponentially Weight Average)是一种常用的序列数据处理方式,计算公式为:

 S_t=\\begin{cases}Y_1, &t=1 \\\\  \\beta S_{t-1}+ (1-\\beta)Y_t, &t > 1  \\end{cases}

其中Y_tt下的实际值,S_tt下加权平均后的值,\\beta为权重值。

指数加权平均数在统计学中被称为“指数加权移动平均值”。


我们将指数加权平均公式的一般形式写下来:

 \\begin{aligned}V_t &=\\beta V_{t-1}+(1-\\beta)\	heta_t\\\\ &=(1-\\beta)\	heta_t+(1-\\beta)\\cdot\\beta\\cdot\	heta_{t-1}+(1-\\beta)\\cdot \\beta^2\\cdot\	heta_{t-2}+\\cdots+(1-\\beta)\\cdot \\beta^{t-1}\\cdot \	heta_1+\\beta^t\\cdot V_0 \\end{aligned}

观察上述推导得到的计算公式,其中:

  • \	heta_t,\	heta_{t-1},\	heta_{t-2},...,\	heta_1是原始数据值。
  • (1-\\beta),(1-\\beta)\\beta,(1-\\beta)\\beta^2,...,(1-\\beta)\\beta^{t-1}是类似指数曲线,从右向左,呈指数下降的。

如果我们把每个时间点的\	heta和衰减指数写成向量形式,则最终指数加权平均结果V_t相当于两者的点乘。将原始数据值与衰减指数点乘,相当于做了指数衰减,随距离越远衰减越厉害(注意到\\beta小于1),有如下结论:

  • 离得越近的数据点,影响越大,离得越远的数据点,影响越小。

\\beta=0.9时,

v_{100}=0.9v_{99}+ 0.1 \	heta_{100}

v_{99}=0.9v_{98}+ 0.1 \	heta_{99}

v_{98}=0.9v_{97}+ 0.1 \	heta_{98}

展开:

 v_{100}=0.1 \	heta_{100}+ 0.1 * 0.9 \	heta_{99}+ 0.1 *{(0.9)}^2 \	heta_{98}+ \\dots

其中,\	heta_i指第i天的实际数据。所有\	heta前面的系数(不包括0.1)相加起来为1或者接近于1,这些系数被称作偏差修正(Bias Correction)


根据函数极限的一条定理:

{\\lim_{\\beta\	o 0}}(1 - \\beta)^{\\frac{1}{\\beta}}=\\frac{1}{e}\\approx 0.368

\\beta=0.9时,可以当作把过去10天的气温指数加权平均作为当日的气温,因为10天后权重已经下降到了当天的1/3左右。同理,当\\beta=0.98时,可以把过去50天的气温指数加权平均作为当日的气温。

因此,在计算当前时刻的平均值时,只需要前一天的平均值和当前时刻的值。

 v_t=\\beta v_{t-1}+ (1 - \\beta)\	heta_t

在实际代码中,只需要不断迭代赋值更新v即可:

 v :=\\beta v + (1 - \\beta)\	heta_t

指数平均加权并不是最精准的计算平均数的方法,你可以直接计算过去10天或50天的平均值来得到更好的估计,但缺点是保存数据需要占用更多内存,执行更加复杂,计算成本更加高昂。

指数加权平均数公式的好处之一在于它只需要一行代码,且占用极少内存,因此效率极高,且节省成本。


\\beta=0.98时,前面提到的气温示例,指数加权平均结果如绿色曲线。但实际上真实曲线如紫色曲线所示:

紫色曲线与绿色曲线的区别是,紫色曲线开始的时候相对较低一些。因为开始时设置v_0=0,所以初始值会相对小一些,直到后面受前面的影响渐渐变小,趋于正常。

修正这种问题的方法是进行偏移校正(bias correction),即在每次计算完v_t后,对v_t进行下式处理:

{V_t}=\\frac{V_t}{1-\\beta^t}

换算到迭代公式中,即有v_t=\\frac{\\beta v_{t-1}+ (1 - \\beta)\	heta_t}{{1-\\beta^t}}

观察上式:随着t的增大,\\betat次方趋近于0。因此当t很大的时候,偏差修正几乎没有作用,但是在前期学习可以帮助更好的预测数据。


大家已经了解了指数加权平均,现在我们回到神经网络优化算法,介绍一下动量梯度下降算法,其速度要比传统的梯度下降算法快很多。做法是在每次训练时,计算梯度的指数加权平均数,并利用该值来更新权重W和常数项b

具体过程为:for l=1, .. , L

v_{dW^{[l]}}=\\beta v_{dW^{[l]}}+ (1 - \\beta) dW^{[l]}

v_{db^{[l]}}=\\beta v_{db^{[l]}}+ (1 - \\beta) db^{[l]}

W^{[l]}:=W^{[l]}- \\alpha v_{dW^{[l]}}

b^{[l]}:=b^{[l]}- \\alpha v_{db^{[l]}}

其中,将动量衰减参数\\beta设置为0.9是超参数的一个常见且效果不错的选择。当\\beta被设置为0时,显然就成了Batch梯度下降法。


我们用下图来对比一下优化算法的优化过程

图中:

  • 蓝色曲线:使用一般的梯度下降的优化过程,由于存在上下波动,减缓了梯度下降的速度,因此只能使用一个较小的学习率进行迭代。
  • 紫色曲线:使用一般梯度下降+较大的学习率,结果可能偏离函数的范围。
  • 红色曲线:使用动量梯度下降,通过累加过去的梯度值来减少抵达最小值路径上的波动,加速了收敛,因此在横轴方向下降得更快。

当前后梯度方向一致时,动量梯度下降能够加速学习;而前后梯度方向不一致时,动量梯度下降能够抑制震荡。

另外,在10次迭代之后,移动平均已经不再是一个具有偏差的预测。因此实际在使用梯度下降法或者动量梯度下降法时,不会同时进行偏差修正。

补充:在其它文献资料中,动量梯度下降还有另外一种写法:
V_{dW}=\\beta V_{dW}+dW
V_{db}=\\beta V_{db}+db
即消去了dWdb前的系数(1-\\beta)。这样简化了表达式,但是学习因子\\alpha相当于变成了\\frac{\\alpha}{1-\\beta},表示\\alpha也受\\beta的影响。从效果上来说,这种写法也是可以的,但是不够直观,且调参涉及到\\alpha,不够方便。所以,实际应用中,推荐第一种动量梯度下降的表达式。

将成本函数想象为一个碗状,从顶部开始运动的小球向下滚,其中dwdb想象成球的加速度;而v_{dw}v_{db}相当于速度。

小球在向下滚动的过程中,因为加速度的存在速度会变快,但是由于\\beta的存在,其值小于1,可以认为是摩擦力,所以球不会无限加速下去。


RMSProp(Root Mean Square Propagation,均方根传播)是另外一种优化梯度下降速度的算法,它在对梯度进行指数加权平均的基础上,引入平方和平方根。具体过程为(省略了l):

s_{dw}=\\beta s_{dw}+ (1 - \\beta)(dw)^2

s_{db}=\\beta s_{db}+ (1 - \\beta)(db)^2

w :=w - \\alpha \\frac{dw}{\\sqrt{s_{dw}+ \\epsilon}}

b :=b - \\alpha \\frac{db}{\\sqrt{s_{db}+ \\epsilon}}

其中,\\varepsilon是一个实际操作时加上的较小数(例如10^{-8}),为了防止分母太小而导致的数值不稳定。

如图所示,蓝色轨迹代表初始的移动,可以看到在b方向上走得比较陡峭(即db较大),相比起来dw较小,这影响了优化速度。

因此,在采用RMSProp算法后,由于(dw)^2较小、(db)^2较大,进而s_{dw}也会较小、s_{db}也会较大,最终使得\\frac{dw}{\\sqrt{s_{dw}+ \\varepsilon}}较大,而\\frac{db}{\\sqrt{s_{db}+ \\varepsilon}}较小。后面的更新就会像绿色轨迹一样,明显好于蓝色的更新曲线。RMSProp减小某些维度梯度更新波动较大的情况,使下降速度变得更快。

RMSProp有助于减少抵达最小值路径上的摆动,并允许使用一个更大的学习率\\alpha,从而加快算法学习速度。并且,它和Adam优化算法已被证明适用于不同的深度学习网络结构。

注意,\\beta也是一个超参数。

对比原始梯度下降与RMSProp算法优化过程,如下图所示(上方为原始梯度下降,下方为RMSProp)

Adam (Adaptive Moment Estimation,自适应矩估计)算法结合了动量梯度下降算法和RMSprop算法,通常有超越二者单独时的效果。具体过程如下(省略了l):

首先进行初始化:

v_{dW}=0, s_{dW}=0, v_{db}=0, s_{db}=0


用每一个Mini-Batch计算dWdb,第t次迭代时:

v_{dW}=\\beta_1 v_{dW}+ (1 - \\beta_1) dW

v_{db}=\\beta_1 v_{db}+ (1 - \\beta_1) db

s_{dW}=\\beta_2 s_{dW}+ (1 - \\beta_2){(dW)}^2

s_{db}=\\beta_2 s_{db}+ (1 - \\beta_2){(db)}^2


一般使用Adam算法时需要计算偏差修正:

v^{corrected}_{dW}=\\frac{v_{dW}}{1-{\\beta_1}^t}

v^{corrected}_{db}=\\frac{v_{db}}{1-{\\beta_1}^t}

s^{corrected}_{dW}=\\frac{s_{dW}}{1-{\\beta_2}^t}

s^{corrected}_{db}=\\frac{s_{db}}{1-{\\beta_2}^t}


所以,更新Wb时有:

 W :=W - \\alpha \\frac{v^{corrected}_{dW}}{{\\sqrt{s^{corrected}_{dW}}+ \\varepsilon}}

 b :=b - \\alpha \\frac{v^{corrected}_{db}}{{\\sqrt{s^{corrected}_{db}}+ \\varepsilon}}

Adam优化算法有很多的超参数,其中

  • 学习率\\alpha:需要尝试一系列的值,来寻找比较合适的
  • \\beta_1:常用的缺省值为0.9
  • \\beta_2:Adam算法的作者建议为0.999
  • \\varepsilon:不重要,不会影响算法表现,Adam算法的作者建议为10^{-8}

\\beta_1\\beta_2\\varepsilon通常不需要调试。

对比原始梯度下降与RMSProp算法优化过程,如下图所示(上方为原始梯度下降,下方为Adam)


减小学习率\\alpha也能有效提高神经网络训练速度,这种方法被称为学习率衰减法(learning rate decay)。

学习率衰减就是随着迭代次数增加,学习率\\alpha逐渐减小。如下图示例。

蓝色折线表示设置一个固定的学习率\\alpha

  • 在最小值点附近,由于不同的Batch中存在一定的噪声,因此不会精确收敛,而是始终在最小值周围一个较大的范围内波动。

绿色折线表示随着时间慢慢减少学习率\\alpha的大小

  • 在初期\\alpha较大时,下降的步长较大,能以较快的速度进行梯度下降;
  • 后期逐步减小\\alpha的值,即减小步长,有助于算法的收敛,更容易接近最优解。

最常用的学习率衰减方法:

 \\alpha=\\frac{1}{1 + decay\\_rate \\ast  epoch\\_num}\\ast  \\alpha_0

其中,decay_rate为衰减率(超参数),epoch_num为将所有的训练样本完整过一遍的次数。

  • 指数衰减:\\alpha=0.95^{epoch\\_num}\\ast  \\alpha_0
  • 其他:\\alpha=\\frac{k}{\\sqrt{epoch\\_num}}\\ast  \\alpha_0
  • 离散下降

对于较小的模型,也有人会在训练时根据进度手动调小学习率。


在使用梯度下降算法不断减小cost function时,可能会得到局部最优解(local optima)而不是全局最优解(global optima)

之前我们对局部最优解的理解是形如碗状的凹槽,如图左边所示。但是在神经网络中,local optima的概念发生了变化。准确来说,大部分梯度为零的“最优点”并不是这些凹槽处,而是形如右边所示的马鞍状,称为saddle point。

所以在深度学习损失函数中,梯度为零并不能保证都是convex(极小值),也有可能是concave(极大值)。特别是在神经网络中参数很多的情况下,所有参数梯度为零的点很可能都是右边所示的马鞍状的saddle point,而不是左边那样的local optimum。

类似马鞍状的plateaus会降低神经网络学习速度。Plateaus是梯度接近于零的平缓区域,如图所示。在plateaus上梯度很小,前进缓慢,到达saddle point需要很长时间。到达saddle point后,由于随机扰动,梯度一般能够沿着图中绿色箭头,离开saddle point,继续前进,只是在plateaus上花费了太多时间。

结论

  • 在训练较大的神经网络、存在大量参数,并且成本函数被定义在较高的维度空间时,困在极差的局部最优中是不大可能的;
  • 鞍点附近的平稳段会使得学习非常缓慢,而这也是动量梯度下降法、RMSProp以及Adam优化算法能够加速学习的原因,它们能帮助尽早走出平稳段。